Cuadrados mágicos

Según explica la leyenda, el primer cuadrado mágico fue descubierto por los chinos sobre el caparazón de una tortuga que emergió de río Lo. Los xinos le dieron el nombre de "Lo Shu", que significa río Lo.

En la actualidad, los cuadrados mágicos son construcciones de números que no tienen demasiada utilidad pero con unas propiedades asombrosas. A continuación explicaré algunas de las características de los cuadrados mágicos:

Los cuadrados mágicos, en general, son ordenaciones de casillas en forma de matrices de n filas por n columnas con la propiedad que los términos de cada fila suman la misma cantidad y los términos de cada columna también. Al valor de esta suma se le llama constante mágica. N es el orden del cuadrado. Así, por ejemplo, un cuadrado de 3x3 es un cuadrado de orden 3.

Construcción del cuadrado:

1. Método Loubere

Para la construcción de un cuadrado de orden impar podemos seguir el siguiente método:

  • Tomemos una serie aritmética cualquiera, para mayor comodidad la serie de los números naturales, y coloquemos el número 1 en la celda central de la fila superior.
  • La cifra consecutiva a una cualquiera debe colocarse en la celda que le sigue diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha.
  • Si al hacer esto se sale del cuadrado por el límite superior del contorno del mismo, saltaremos a la celda de la columna siguiente hacia la derecha y en su fila inferior, si se sale por la derecha, se sigue por la primera celda, a partir de la izquierda, de la fila superior.
  • Cuando la celda siguiente está ocupada, el número consecutivo de la serie se coloca en la celda inmediatamente inferior a la del número precedente, comenzando así un nuevo camino en la dirección de la diagonal.

Así por ejemplo el cuadrado mágico de orden 3 y constante mágica 15 es:

8 1 6
3 5 7
4 9 2

Para orden 5:

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

2. Método Brachet

Otra manera aún más sencilla de resolver los cuadrados mágicos Métode de brachet) de orden par es la siguiente:

Por ejemplo, para un cuadrado mágico de orden 5, el primer paso es colocar, en un rombo, los números ordenados, siguiendo las diagonales altenas y empezando con el uno en la casilla superior:

1
6 2
11 7 3
16 12 8 4
21 17 13 9 5
22 18 14 10
23 19 15
24 20
25

Como se puede ver en el ejemplo, nos queda un rombo con un cuadrado central con huecos. En la parte exterior de este cuadrado quedan 4 triángulos. El siguiente paso es rellenar los huecos del cuadrado central con los números de los triángulos exteriores. Para ello imaginamos que recortamos estos triángulos y los situamos sobre el cuadrado central. El triángulo superior lo situamos en la parte inferior del cuadrado. El triángulo inferior, en la parte superior. El triángulo de la derecha en la izquierda y el de la izquierda, en la derecha del cuadrado central. El cuadrado mágico queda así:

11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15

¿Qué?, sencillo, ¿no?. Ahora vamos a ver como construir un cuadrado mágico de orden par:

3. Cuadrados mágicos de orden 4K

Construímos un cuadrado con los números dispuestos de forma consecutiva. Una vez hecho esto conservamos la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de las esquinas de orden n/4. Los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente. Para k=1, tendremos el siguiente cuadrado mágico:

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16

y para k=2 quedaría así:

1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
1 2 62 61 60 59 7 8
9 10 54 53 52 51 15 16
48 47 19 20 21 22 42 41
40 39 27 28 29 30 34 33
32 31 35 36 37 38 26 25
24 23 43 44 45 46 18 17
49 50 14 13 12 11 55 56
57 58 6 5 4 3 63 64

 

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